Антон Шунин родился в Москве 27 января 1987 года. Можно сказать, что будущему голкиперу «Динамо» было суждено связать свою жизнь со спортом, ведь его родители имели к нему прямое отношение. Отец Владимир занимался лёгкой атлетикой, а мать Лариса — спортивной гимнастикой. Уже в восемь лет ребёнок пошёл по их стопам и оказался в клубе, где проведёт всю свою профессиональную карьеру.
К 20 годам Шунин успел поиграть за молодёжку и дубль бело-голубых, где был вынужден сражаться за место в старте с литовцем Жидрунасом Карчемарскасом и будущим вратарём московского «Спартака» Артёмом Ребровым. Примечательно, что дебютировал за вторую команду он именно в дерби с красно-белыми и даже отстоял на ноль (1:0). Это произошло ещё в ноябре 2004-го, но твёрдым основным он стал гораздо позднее — весной 2006-го. К этому моменту его российский визави уже отправился в «Сатурн», а его главными конкурентами значились Василий Фролов и Себастьян Хуцан — трёхкратный чемпион Молдавии в составе «Шерифа».